Найдите произведение, используя формулы сокращенного умножения:
Воспользуемся формулой разности квадратов, где \(\displaystyle a=\sqrt{ x^2+5} \) и \(\displaystyle b= x- \sqrt{ 5} \,{\small : }\)
\(\displaystyle (\sqrt{x^2+5}-(x- \sqrt{ 5}\,))(\sqrt{x^2+5}+(x- \sqrt{ 5}\,))=(\sqrt{ x^2+5}\,)^2- (x- \sqrt{ 5} \,)^2 {\small . }\)
По определению корня, \(\displaystyle (\sqrt{ x^2+5}\,)^2=x^2+5{\small . } \)
С другой стороны, воспользовавшись формулой квадрата разности, раскроем скобки в выражении \(\displaystyle (x- \sqrt{ 5} \,)^2 {\small . } \)
Тогда
\(\displaystyle (x- \sqrt{ 5} \,)^2=x^2-2\cdot x\cdot \sqrt{ 5}+ (\sqrt{ 5}\,)^2=x^2-2x\sqrt{ 5}+5 {\small . } \)
Подставляя полученное в исходное выражение, получаем:
\(\displaystyle (\sqrt{ x^2+5}\,)^2- (x- \sqrt{ 5} \,)^2=x^2+5-(x^2-2x\sqrt{ 5}+5)=x^2+5-x^2+2x\sqrt{ 5}-5=2x\sqrt{ 5}{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle 2x\sqrt{ 5}{\small . } \)